《一个数学家的自画像》

[法]皮埃尔-路易·利翁 著

法临婧 译

贝页 | 文汇出版社出版

你以为数学家就是一头乱发，孤独自闭，终日埋头在办公室里解方程式？

皮埃尔-路易·利翁以幽默、直白的文字，为我们打开了“数学家”世界的门：数学家每天都在做些什么？许多取得突破性进展的数学研究是如何发起、推进的？如何理解一个理论或证明可以和“美丽”“漂亮”这些形容词相连？应用数学与我们普通人的生活究竟有什么关系？

当数学在它所涵盖的大部分领域仍是一个完美的谜，本书对回答所有这些问题做了一次不完美却真诚的尝试。

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我起草的博士论文题目是：《非线性偏微分方程的几种类型及其数字解决方法》。我承认，它读起来不像小说那样引人入胜，确实也有些题目看上去更加幽默风趣一些。因为，尽管我提倡一种不复杂、去神秘化的数学方法，但我上过的预科班、高师、著名科研机构的主旨都不是培养喜剧人才。不过请别害怕，也不要马上把这本书合上。事实上，这个令人费解的标题背后隐藏着一些极其平常的经验，它充斥着我们的日常生活。

这个题目属于我在科研生涯中主要研究的几个数学领域之一：偏微分方程。它是数学分析的一个子类别。正如我在前文中解释的那样，数学分析涉及物理、化学或工程等领域的具体问题，它通过提取其中隐藏的数学元素来尝试解决它们。因为事实就是如此：在我们的周围，数学无处不在，它就存在于我们身边的大自然、我们呼吸的空气、我们的汽车、阿丽亚娜火箭中，以及行星的运行里……无论我们将目光投向何处，我们的双眼凝视的都是“数学”，或者更确切地讲，是用数学语言来诠释的物体或现象。而这种诠释的工作，正是分析学家的使命。

直到文艺复兴时期，数学家的研究主要围绕着固定的、坚实的物体。那是一个由代数或几何统治的时代，简单来说，就是要对一个稳定、静态的环境中的长、宽、高进行量化分析。到了18世纪，瑞士人莱昂哈德·欧拉——那个时代最重要的数学家、科学家之一，奉普鲁士国王之命为其建造一座喷泉。作为一个好奇而严谨的科学家，他想借此机会研究一下水的运动，目的是用数学的术语来描述水流，即对水流的性质进行数学建模。他其实没有必要做那么多，因为给他的命令仅仅是建造一座喷泉而已。但我相信他绝不会错过这样一个好机会来创造前所未有的方程式——一个全新的领域。

挑战并不容易。因为不像长方形或我父亲切割过的那段原木，喷泉的水不是静止的，它处于永恒的运动中，并受多个变量的影响：速度、密度、周围空气的压力、经过的时间……由此可以看出，我们无法像量化圆柱体的表面积那样去量化水流。为了克服这个困难，欧拉后来发明了一种全新的方程式写法：偏微分方程。它允许在方程式中加入诸多变量作为补充条件，但这还不是全部。由于这些变量的值在不同的位置上可能是不同的（例如水不会以相同的速度流向四面八方），因此需要加入一个不限定的未知数，比如任意一点的速度，即未知函数。此外，它们不是也不可能是线性的。增加原因也不会导致相应的结果，可见，增加两种流体的速度没有任何意义。这些方程是非线性的，因此通称为非线性偏微分方程。

这个水流模型顺理成章地被命名为“欧拉模型”。它为数学分析开辟了一个新领域：流体动力学。在水之后，数学家又把目光转向了其他液体，然后是气体，它们都属于非线性偏微分方程的大家庭。此外，空气一直是人们关注的焦点，自从牛顿为现代科学引入了新的变量——加速度，即“速度的速度”以来，情况更是如此。

（图源：视觉中国）

18世纪的法国数学家让·勒朗·达朗贝尔对空气的流动模型进行了研究。它以牛顿开发的模型为依据，其研究结果“达朗贝尔悖论”实在令人震惊：按照牛顿原理所建的模型中，鸟类竟然是无法飞行的！这与我们的观察显然不符。

很明显，牛顿的模型没能经得起实验，欧拉的模型也是一样。方程中应该还缺了点儿什么。19世纪时，法国数学家亨利·纳维和英国物理学家乔治·斯托克斯开始着手解决这一悖论。他们以欧拉模型为基础，引入了其中缺失的概念——“粘性”，这一术语背后隐藏的是空气的阻力，我们可以通过在高速公路上打开车窗，把手伸向外面来进行验证。相对于“阻力”，人们有时更喜欢使用“摩擦”一词，因为这种效应可以看作是分子之间的摩擦。在导入粘性这一概念后，鸟儿终于可以飞翔了。

这项工作催生了新的理论模型，它被称为“纳维-斯托克斯方程”，用以纪念这两位科学家。该方程可以准确地描述气体和大多数液体的流动，这一革命使应用数学得以发展。200年后，纳维-斯托克斯方程被广泛应用于与流动的液体或气体相关的各种工业领域，没有它也就没有飞机，没有内燃机，没有水力大坝，也没有电影《泰坦尼克号》。

在那艘著名轮船沉没的场景中，詹姆斯·卡梅隆使用了特效来重现海水的运动。他使用的软件除了采用纳维—斯托克斯方程以外，别无他法。那部电影让我感到很无聊，但轮船总算沉没时我真的很高兴，因为只有那一幕能让我欣赏到图形工程师的工作。但不得不说，我还是很失望。电影使用的方程显相当基础，在专业人士的眼里，海水的运动显得极为平庸。